## 一、题目

>Given two strings, find the longest common subsequence (LCS).
>
>Your code should return the length of LCS.
>
>Have you met this question in a real interview? 
>
>Yes
>
>Example
>
>For "ABCD" and "EDCA", the LCS is "A" (or "D", "C"), return 1.
>
>For "ABCD" and "EACB", the LCS is "AC", return 2.

求最长公共子序列的数目，注意这里的子序列可以不是连续序列。

## 二、解题思路

求『最长』类的题目往往与动态规划有点关系，这里是两个字符串，故应为双序列动态规划。

这道题的状态很容易找，不妨先试试以`f[i][j]`表示字符串 A 的前 `i` 位和字符串 B 的前 `j` 位的最长公共子序列数目，那么接下来试试寻找其状态转移方程。从实际例子`ABCD`和`EDCA`出发，首先初始化`f`的长度为字符串长度加1，那么有`f[0][0] = 0`, `f[0][*] = 0`, `f[*][0] = 0`, 最后应该返回`f[lenA][lenB]`. 即 f 中索引与字符串索引对应(字符串索引从1开始算起)，那么在A 的第一个字符与 B 的第一个字符相等时，`f[1][1] = 1 + f[0][0]`, 否则`f[1][1] = max(f[0][1], f[1][0])`。

推而广之，也就意味着若`A[i] == B[j]`, 则分别去掉这两个字符后，原 LCS 数目减一，那为什么一定是1而不是0或者2呢？因为不管公共子序列是以哪个字符结尾，在`A[i] == B[j]`时 LCS 最多只能增加1. 而在`A[i] != B[j]`时，由于`A[i]` 或者 `B[j]` 不可能同时出现在最终的 LCS 中，故这个问题可进一步缩小，`f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1])`. 需要注意的是这种状态转移方程只依赖最终的 LCS 数目，而不依赖于公共子序列到底是以第几个索引结束。

## 三、解题代码

```Java
public class Solution {
    /**
     * @param A, B: Two strings.
     * @return: The length of longest common subsequence of A and B.
     */
    public int longestCommonSubsequence(String A, String B) {
        if (A == null || A.length() == 0) return 0;
        if (B == null || B.length() == 0) return 0;

        int lenA = A.length();
        int lenB = B.length();
        int[][] lcs = new int[1 + lenA][1 + lenB];

        for (int i = 1; i < 1 + lenA; i++) {
            for (int j = 1; j < 1 + lenB; j++) {
                if (A.charAt(i - 1) == B.charAt(j - 1)) {
                    lcs[i][j] = 1 + lcs[i - 1][j - 1];
                } else {
                    lcs[i][j] = Math.max(lcs[i - 1][j], lcs[i][j - 1]);
                }
            }
        }

        return lcs[lenA][lenB];
    }
}
```